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El flujo de Ricci y su aplicación contra el cáncer

El flujo de Ricci es un concepto matemático que podría darnos las claves en la lucha contra enfermedades como el cáncer. Se trata de la solución a un problema topológico establecido en 1904 por el matemático francés Henri Poincaré. Se trata de uno de los grandes problemas del milenio, cuyo ganador rechazó obtener la dotación económica de 1 millón de dólares. Nos habla de él Sáenz de Cabezón en esta masterclass.

Grigori Perelman pasará a la historia como uno de los matemáticos más destacados del milenio. Su aportación en la lucha del cáncer gracias al desarrollo del flujo de Ricci le ha convertido en merecedor de este reconocimiento. Se trata de la respuesta a la Conjetura de Poincaré, uno de los 7 problemas matemáticos más importantes, según Clay Mathematics Institute.

Durante más de 100 años, la Conjetura de Poincaré, que propone una caracterización topológica de las 3 esferas, ha sido la cuestión central en topología. La topología es la rama de las matemáticas que se centra en el estudio de las propiedades de los cuerpos geométricos que se mantienen estables a pesar de estar sometidos a transformaciones continuas. La conjetura implica que si un espacio no tiene agujeros esenciales, entonces es una esfera.

Descubrimiento del flujo de Ricci

Hamilton, uno de los mejores topólogos estadounidenses de la segunda mitad del siglo, hizo un gran avance en su intento de probar la conjetura en tres dimensiones.

Su trabajo se basó en la conocida noción de curvatura, y en el hecho de que una esfera tenía, como cualidad básica, una positiva y constante. Por lo tanto, si uno tuviera una forma de medir la curvatura de un objeto no identificable y de seguir midiéndola mientras remodela este objeto, entonces se puede, eventualmente, llegar al punto en el que este objeto tendría una curvatura positiva y constante. Entonces sería, por naturaleza, una esfera, y se probaría la conjetura.

Hamilton logró crear una medida adecuada y estudiar sus variaciones mientras remodelaba el objeto. El proceso de transformación de la métrica se llama flujo de Ricci. Hamilton logró demostrar que la curvatura se mantendría positiva, pero se sorprendió al estudiar sus variaciones: no pudo probar que se mantuviera constante.

Perelman pudo superar las dificultades a las que el matemático Hamilton se enfrentaba. Primero, Perelman demostró que la suposición de que la curvatura está acotada uniformemente era correcta. En segundo lugar, mostró que las peculiaridades de la curva eran constantes.

Para demostrar la conjetura de Poincaré, Perelman se sirvió del flujo de Ricci. Se trata de un flujo geométrico e intrínseco en forma análoga a la difusión del calor, pero suavizando las irregularidades de la métrica de Riemann.

La respuesta a la Conjetura de Poincaré

Durante años matemáticos de todo el mundo buscaron resolver el que pasaría a convertir en uno de los siete problemas matemáticos del milenio. Este problema fue resuelto finalmente en 2002 por Grigori Perelman. Al conseguir solucionar una cuestión elemental de su campo, este matemático ruso recibió una medalla de honor por sus contribuciones a la geometría y sus ideas revolucionarias. Además, el descubrimiento del flujo de Ricci traía consigo una recompensa económica: un premio de un millón de euros. Sin embargo, Perelman rechazó tanto el premio como la medalla.

Los retos que obstaculizan la detección prematura de cáncer

El flujo de Ricci se presenta como una de las grandes promesas de las matemáticas en la lucha contra diferentes tipos de cáncer. Entre ellos, el cáncer colorrectal, que representa una de las principales causas de muerte relacionada con el cáncer en los países occidentales. Existe un alto índice de probabilidad de prevenir este tipo de cáncer si los pólipos precursores se detectan y extirpan antes de volverse malignos. Una colonoscopia los detecta insertando una cámara de video flexible a través del colon.

La colonografía por tomografía computarizada en la detección de pólipos colorrectales (CTC) es una técnica menos invasiva que utiliza imágenes de tomografía computarizada y software de visualización avanzado para permitir que un radiólogo simule una colonoscopia convencional.

En CTC, el paciente se escanea dos veces, una en decúbito prono y luego en decúbito supino. Cuando se reposiciona al paciente, un pólipo permanece fijo a la superficie del colon mientras otro material se mueve, lo que permite, en teoría, al radiólogo diferenciar entre pólipos y heces residuales. Sin embargo, debido a que el colon sufre una deformación considerable al mismo tiempo, es difícil hacer coincidir los puntos correspondientes en la superficie del colon antes y después del reposicionamiento.

El papel del flujo de Ricci en la detección del cáncer

Al utilizar el flujo de Ricci, se puede aplanar toda la superficie de la pared del colon en un rectángulo plano, lo que facilita la detección del cáncer. De esta forma, los pólipos y otras anomalías se pueden encontrar de manera eficiente en la imagen plana utilizando un software de detección asistida por ordenador (CAD). El CAD es un programa que utilizan los radiólogos resaltar las características sospechosas en una imagen.

ACERCA DEL AUTOR

Eduardo S. de Cabezón
Matemático, profesor e investigador de la Universidad de la Rioja y fundador de The Big Van Theory (grupo de monologuistas de ciencia).

ACERCA DEL AUTOR

Eduardo Sáenz de Cabezón es científico y divulgador.